Fractales

El término fractal fue propuesto por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975, existen muchísimos fractales, ya que estos son muy fáciles de construir. Los ejemplos más populares son  el conjunto de “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”, este último se realiza de una forma muy sencilla: dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas, repetimos el último paso.

Un problema traía de cabeza a los técnicos de comunicaciones de la compañía y era el ruido en las líneas telefónicas que usaban para transmitir información en su red de ordenadores. Ese ruido era insalvable, podían atenuarlo amplificando la señal pero siempre aparecían las interferencias y con ellas los errores continuos. Era como la radiación de fondo del Universo, siempre está presente, no desaparece.

Este hecho llegó a oídos de Mandelbrot, y ni corto ni perezoso ideó un método que describía la distribución errónea del flujo de información, el cual predecía las observaciones pero que era incapaz de pronosticar el promedio de errores por unidad de tiempo.

Un fractal es un  objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos la misma estructura. Realmente somos incapaces de afirmar a que distancia está el objeto de nosotros, ya que siempre lo de la misma forma.

Otro sencillo ejemplo lo constituye la alfombra de Sierpinski:

El termino fractal es reciente, aunque los objetos hoy denominados fractales eran conocidos desde el siglo XX. La manera más sencilla de determinar lo que llamaos dimensión fractal fueron  establecidas a principios del siglo XX en la teoría de la medida.

Al ver un fractal te puedes dar cuenta que la forma más sencilla de hacer uno es escoger una figura y reproducirla en versiones más pequeñas. Sin embargo, se pueden conseguir objetos muchos más complejos.

El conjunto de Mandelbrot fue propuesto en los años setenta, pero no fue hasta una década más tarde cuando pudo representarse gráficamente con un ordenador. Este conjunto se define a partir de un número “c” cualquiera, que define la siguiente sucesión:

Para diferentes valores de “c”, obtenemos diferentes sucesiones. Si la sucesión es acotada, “c” pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido. Por ejemplo, para c=1 se obtiene: 0, 1, 2, 5, 26, 677, etc.(0, 1=02+1, 2=12+1, 5=22+1, etc.) Para c=-0.5 obtenemos 0, -0.5, -0.25, -0.4375, -0.30859375, -0.404769897, etc. De esta forma, c=-0.5 pertenece al conjunto y c=1 no.

Si además consideramos números complejos, obtenemos la siguiente figura:

Un objeto geométrico cuenta con las siguientes características:

Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.

Su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura.

Según B. Mandelbrot, un objeto es auto-similar o auto-semejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.

Los fractales tienen tres tipos de auto-similitud:

Auto-similitud exacta: Este es el tipo más restrictivo de auto-similitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas.

Cuasiauto-similitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos.

Auto-similitud estadística: Es el tipo más débil de auto-similitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala.

A lo largo de la historia y en la actualidad los fractales han sido muy importantes ya que el campo de acción de los fractales no ha parado de ampliarse desde las investigaciones de Mandelbrot, tanto que el estudio de estos no dejara de desarrollarse.