Rectángulo Áureo

Rectángulo Áureo (Oro)

El número phi (se pronuncia "número fi") también denominado número áureo ha sido utilizado en las bellas artes como la arquitectura o la pintura y aparece también en las plantas, los animales y el universo.

En esta página expongo varias formas de obtener el número áureo gracias a la geometría y las matemáticas.

Phi a partir de un cuadrado y rectángulo áureo

  Para obtener el numero áureo en un cuadrado se traza un arco que tenga por centro el punto medio de un de sus lados y su diámetro alcance el vértice del lado opuesto y desde ese punto se lleva el arco hasta su intersección con prolongación del primer lado elegido obteniendo un segmento que llamamos Phi. La relación entre Phi y un lado del cuadrado es el número áureo.

  Partiendo de un cuadrado que mida dos de lado, el segmento Phi (Φ) mide 1 + el diámetro del arco. Según Pitágoras en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos.

  2² + 1² = 5 --> la hipotenusa es igual a √5.

  Al que sumo 1 para completar el segmento y obtengo el valor de phi para dos, por lo tanto lo divido por dos.

  (√5 + 1) ÷ 2 = 1,618034...

   He hecho un redondeo a 6 cifras después de la coma, este número es infinito. Aplicare este redondeo en las siguientes operaciones.

Phi a partir de triangulo rectángulo

  Se dibuja un triangulo Rectángulo ABC con el ángulo recto en la esquina A. El segmento BC es la hipotenusa de este triangulo. El cateto AB mide 2 y el cateto AC mide 1. Trazamos una prolongación de la hipotenusa en dirección B->C hasta que se cruza con el arco de centro C y con un radio que alcanza el punto A. El punto donde se intersecan la prolongación de la hipotenusa y el arco anteriormente mencionado es el punto E.

  Se traza dos arcos, un con centro en B y radio que alcanza A (AB=2 -> radio=2) y otro con centro en E y radio de 2. Se traza una línea que pase por los dos puntos donde se intersecan los dos arcos anteriores. Esta línea cruza la hipotenusa del triangulo en el punto D.

  Los dos segmentos BD Y ED miden exactamente el valor de Phi y CD es igual a Φ/1.

Phi en un cuadrado inscrito en un semicírculo

  Se dibuja un circulo partido por su diametro (color verde). Dentro de este semicírculo se inscribe un cuadrado ABCD que tiene uno de sus lados (CD) sobre el diametro del semicírculo y sus otras dos esquinas (A y B) que intersequen con el mismo semicírculo.

  Si la longitud de la linea CD es igual a 1, CE es igual a Phi.

Phi a partir de círculos concéntricos

  Se traza dos círculos (color verde) con el mismo centro Oa, uno con un diámetro de 1 y el otro con un diámetro de 2. Dicho de otra manera: dos círculos concéntricos en los que el di ámetro de uno de ellos sea el doble del otro.

  Se desplaza estos dos círculos cambiando su centro desde Oa a Ob, Ob debe situarse en el primer círculo pequeño (color verde). Ahora tenemos dos círculos concéntricos (color verde) + otros dos círculos concéntricos (color morado).

  Los dos círculos de diámetro pequeño se intersecan en dos puntos A y B. Los dos círculos de diámetro grande también se intersecan en dos puntos siendo C uno de ellos. Si dividimos la medida del segmento AC por la medida del segmento AB obtenemos Φ.

Phi a partir de un pentágono

  En el primer pentágono ABCDE, trazo una línea AD y otra BE que se cruzan en F, si BF es igual a uno BE es igual a Phi.

  En el segundo pentágono ABCDE trazo líneas desde cada esquina hasta sus dos esquinas opuestas obteniendo otro pentágono FGHIJ. Si AG es igual a 1, AB es igual a phi y FG al inverso de Phi: 1/ Φ.

Phi a partir de un triángulo isósceles inscrito en un círculo

  En la siguiente tabla dividiendo el valor de arriba por el de abajo el resultado es Phi:

FG	AB	FB	CB	FH	AF	Arco AB
FE	AK	FJ	CM	ON	AI	Arco AG
Φ	Φ	Φ	Φ	Φ	Φ	Φ

  Se dibuja un triángulo isósceles ABC inscrito en un círculo. Los centros de los lados del triángulo son DEF. Se traza una línea que pasa por el centro de dos lados del triá ngulo llevándola hasta el círculo en el punto G. Si la medida FE es uno, FG es phi.

  En el siguiente dibujo, trazo una línea desde C hasta G y otra de B hasta F y tienen la intersección en H.

  La línea CG cruza AB en K. Desde K trazo otra línea paralela a FB que cruza FG en L y llega hasta la línea AC en I.

  Perpendicularmente a IK trazo una línea que cruza FB en J y va hasta la línea CB en M.

  Desde M trazo una línea paralela a IK que cruza CG en N y llega hasta AC en el punto O.

Phi a partir de tres círculos y un triángulo rectángulo

   Se dibuja 3 círculos de diámetro 1 que se intersecan sobre la misma línea (CB). El primer círculo se interseca en un solo punto con el segundo y este también se interseca en un punto con el tercero.

   El punto de intersección del primer círculo con la línea es C y con el tercer círculo es B. Se saca una línea perpendicular al segmento BC desde el punto C hasta el punto A que es la intersección con el primer círculo. Acabamos de dibujar un triángulo ABC.

   AB se interseca con el segundo círculo en dos puntos D y E. DE es el diámetro del segundo círculo por lo tanto mide 1. AC es el diámetro del primer círculo consiguientemente mide 1. BC mide el diámetro del segundo círculo más la mitad del primero y la mitad del tercero que es igual a 1+ 0,5 + 0,5= 2. AB es la hipotenusa del triángulo rectángulo y según Pitágoras en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos:

   2² + 1² = 5 --> la hipotenusa es igual a v5.

   Recapitulemos:

AB= v5

BC= 2

CA= 1

DE= 1

   Ahora vamos a ver donde se encuentra Phi:

AE = BD = (v5 – 1) / 2 + 1 = (v5 + 1) / 2 = 1,618034... (Phi)

AD = BE = (v5 – 1) / 2 + 1 = 0,618034… ( 1/Phi)

La naturaleza nos sorprende de una forma que no puede ser casual, tanto en el mundo vegetal como en el animal, como en multitud de fenómenos físicos, con acontecimientos en los que este famoso número hace acto de presencia.

Desde la antigüedad, muchos filósofos, artistas y matemáticos se han interesado por la sección áurea. Los escritores del renacimiento llamaron proporción divina.
Se le conoce también por número de oro, número Phi -en honor al escultor griego Fidias (Phidias)-, sección áurea...

Phi: 1,6180339887. El número que fue definido por Euclides hace más de dos mil años a raíz de su papel en la construcción del pentagrama. Un número mágico, enigmático, importante para nosotros en muchos sentidos.

Podemos verlo en infinidad de manifestaciones artísticas: en Pintura, Arquitectura y escultura a lo largo de la historia. Tenemos la proporción Áurea de los templos Griegos, en la piramide de Keops o en la Mona Lisa de Leonado da Vinci.

Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.

Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en todo tipo de lugares, desde las tarjetas de crédito, en nuestro carnet de identidad, cajetillas de tabaco, en las cadenas de ADN o en la simetría atómica.

En la música la podemos encontrar en las estructuras formales de las sonatas deMozart, en la Quinta sinfonía de Beethoven o en las obras de Schubert o Debussy, que muy probablemente la aplicaron de forma inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras.

De hecho, cualquier melodía que no guarde esta proporción en sus notas, nos sonaría asonante, extraña. Hay que mencionar que la Proporción Áurea está estrechamente relacionada con la Sucesión de Fibonacci.

LA RELACIÓN MATEMÁTICA : “PHI – MEJOR”

1. PHI es la expresión matemática de “lo mejor de lo mejor”.

2. PHI es igual a mejor y a lo mejor. 3.- Mejor y lo mejor es igual a PHI.

3. Todo lo mejor es PHI. 5.- Todo lo mejor tiende a armonizarse con la armonía universal de la constante matemática PHI y con la constante PHI de la armonía universal.

4. Todo lo que es PHI es lo mejor.

5. Todo lo que es PHI tiende hacia lo mejor.

6. Es el número clave de la vida, de cómo crecemos y de cómo crece la vida, hacia lo mejor.

V.  LA CONSTANTE PHI,  SUS DIFERENTES NOMBRES Y FUNCIONES

La constante phi también es conocida con los siguientes nombres :

1. PHI,  constante PHI, relación PHI, proporción PHI, razón PHI, número PHI, efecto PHI, factor PHI .

2. Relación áurea, relación  de oro, proporción áurea, proporción  de oro.

3. Número áureo, número de oro, número de la vida, la clave de la vida.

4. Relación entre la extrema y la media razón, la división de un segmento en relación justa y extrema, sección  áurea,  sección de oro, espiral áurea , espiral de oro.

5. La proporción divina, la proporción áurea, la proporción sagrada, la proporción mágica.

6. La constante PHI es, en la geometría sagrada, el fundamento de la flor de la vida, la semilla de la vida, el árbol de la vida,  el huevo de la vida , y es el fundamento de los cinco sólidos perfectos.

VI. EL PODER PHI DE LOS PODERES PHI

Desarrollar el efecto PHI es desarrollar , expandir y profundizar  estados superiores de conciencia, con miras a desarrollar los poderes propios de las técnicas PHI, que permiten realizar, manifestar y expresar “ nuestro PHI interior”, tales como :

1. El poder de la alianza con las leyes naturales,

2. El poder de la interiorización,

3. El poder del autodominio, 

4. El poder del silencio interior,

5. El poder de la relajación,

6. El poder de la meditación,

7. El poder de la oración,

8. El poder de la comunión con la divinidad,

9. El poder de la espiritualización de la vida, 

10. El poder de la divinidad dentro de mí,

11. El poder de  la autoaceptación,

12. El poder del amor,

13. El poder del perdón,

14. El poder de la sanación,

15. El poder de la visualización,

16. El poder de la paz interior,

17. El poder del equilibrio interior,

18. el poder de la imperturbabilidad interior,

19. el poder de la invulnerabilidad,

20. El poder de la inofendibilidad,

21. El poder de la inofensividad, 

22. el poder de la magia espiritual interior,

23. El poder del milagro interior,

24. El poder del aumento de la energía vital,

25. El poder de la iluminación espiritual,

El poder de las cualidades científicas y benéficas del campo unificado :

I) de las leyes naturales,

II) de fuerzas naturales,

III) de la energía universal,

IV) de la información universal,

V) de la armonía universal,

VI)  del amor universal,

VII) de la salud universal,

VIII) y de la prosperidad universal.

Los antiguos griegos realizaban numerosas obras y edificios siguiendo esta relación, y en el Renacimiento se le dióel calificativo de la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.

Pero esto no es un blog de arte ni de historia, así que ¿cuánto vale el número áureo?

El número áureo se denota por la letra griega “Φ” FI (¿o PHI?), y vale  , y como cualquier otro número matemático (Neperiano, Pi, …) surge de una expresión matemática:

Habiendo contado ya una parte de la popularidad de este número os voy a contar otras.

Este número aparece en la sucesión de Fibonacci.

Las cadenas de ADN tienen una relación matemática que es el número PHI.

Muchas características humanas tienen relaciones matemáticas que son el número PHI.

Las cajas de cigarrillos son rectángulos áureos.

Hay números que han intrigado a la humanidad desde hace siglos. Valores como PI -la razón matemática entre la longitud de una circunferencia y su diámetro- o e -la base de los logaritmos naturales-, suelen aparecer como resultado de las más dispares ecuaciones o en las proporciones de diferentes objetos naturales. El número áureo -a menudo llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea o divina proporción- también posee muchas propiedades interesantes y aparece, escondido y enigmático, en los sitios más dispares.

El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides, unos tres siglos antes de Cristo, en su obra Los Elementos. Euclides definió su valor diciendo que "una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor." En otras palabras, dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si (a+b) / a = a / b.

La arquitectura no es ajena a este valor matemático. La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón de Atenas, por ejemplo, también se relacionan mediante el número áureo. Muchos productos de consumo masivo se diseñan siguiendo esta relación, ya que resultan más agradables o cómodos. Las tarjetas de crédito o las cajas de cigarrillos poseen dimensiones que mantienen esta proporción. El número áureo puede encontrarse por todas partes, y a menudo ni siquiera somos conscientes de que está allí. Pero en general, cuando algo nos resulta atractivo, esconde entre sus partes esta relación. ¿No es asombroso?

Términos con las siguientes definiciones sobre esto:

Sucesión de Fibonacci. Partiendo desde el número uno, la sucesión de Fibonacci consiste en ir sumando el resultado de la última operación con su mayor sumando.

El segmento áureo. Es un segmento dividido en dos partes de forma que se cumple la igualdad (a+b)/a = a/b, donde (a+b) es el total del segmento, a la parte más grande y b la parte de menor tamaño.

Número de oro. Conocido desde hace siglos, el número de oro –también llamado número fi o número áureo.