Rectángulo Áureo (Oro)
El número phi (se pronuncia "número fi") también
denominado número áureo ha sido utilizado en las bellas artes como la
arquitectura o la pintura y aparece también en las plantas, los animales y el
universo.
En esta página expongo varias formas de obtener el
número áureo gracias a la geometría y las matemáticas.
Phi a partir de un cuadrado y rectángulo áureo
Para obtener el numero áureo en un cuadrado se
traza un arco que tenga por centro el punto medio de un de sus lados y su
diámetro alcance el vértice del lado opuesto y desde ese punto se lleva el arco
hasta su intersección con prolongación del primer lado elegido obteniendo un segmento
que llamamos Phi. La relación entre Phi y un lado del cuadrado es el número
áureo.
Partiendo de un cuadrado que mida dos de lado,
el segmento Phi (Φ) mide 1 + el diámetro del arco. Según Pitágoras en un
triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados
de los catetos.
2² + 1² = 5 --> la hipotenusa es igual a √5.
Al que sumo 1 para completar el segmento y
obtengo el valor de phi para dos, por lo tanto lo divido por dos.
(√5 + 1) ÷ 2 = 1,618034...
He hecho un redondeo a 6 cifras después de la
coma, este número es infinito. Aplicare este redondeo en las siguientes
operaciones.
Phi a partir de triangulo rectángulo
Se dibuja un triangulo Rectángulo ABC con el
ángulo recto en la esquina A. El segmento BC es la hipotenusa de este
triangulo. El cateto AB mide 2 y el cateto AC mide 1. Trazamos una prolongación
de la hipotenusa en dirección B->C hasta que se cruza con el arco de centro
C y con un radio que alcanza el punto A. El punto donde se intersecan la
prolongación de la hipotenusa y el arco anteriormente mencionado es el punto E.
Se traza dos arcos, un con centro en B y radio
que alcanza A (AB=2 -> radio=2) y otro con centro en E y radio de 2. Se
traza una línea que pase por los dos puntos donde se intersecan los dos arcos
anteriores. Esta línea cruza la hipotenusa del triangulo en el punto D.
Los dos segmentos BD Y ED miden exactamente el
valor de Phi y CD es igual a Φ/1.
Phi en un cuadrado inscrito en un semicírculo
Se dibuja un circulo partido por su diametro (color
verde). Dentro de este semicírculo se inscribe un cuadrado ABCD que tiene uno
de sus lados (CD) sobre el diametro del semicírculo y sus otras dos esquinas (A
y B) que intersequen con el mismo semicírculo.
Si la longitud de la linea CD es igual a 1, CE es
igual a Phi.
Phi a partir de círculos concéntricos
Se traza dos círculos (color verde) con el
mismo centro Oa, uno con un diámetro de 1 y el otro con un diámetro de 2. Dicho
de otra manera: dos círculos concéntricos en los que el di ámetro de uno de
ellos sea el doble del otro.
Se desplaza estos dos círculos cambiando su
centro desde Oa a Ob, Ob debe situarse en el primer círculo pequeño (color
verde). Ahora tenemos dos círculos concéntricos (color verde) + otros dos
círculos concéntricos (color morado).
Los dos círculos de diámetro pequeño se
intersecan en dos puntos A y B. Los dos círculos de diámetro grande también se
intersecan en dos puntos siendo C uno de ellos. Si dividimos la medida del segmento
AC por la medida del segmento AB obtenemos Φ.
Phi a partir de un pentágono
En el primer pentágono ABCDE, trazo una línea
AD y otra BE que se cruzan en F, si BF es igual a uno BE es igual a Phi.
En el segundo pentágono ABCDE trazo líneas
desde cada esquina hasta sus dos esquinas opuestas obteniendo otro pentágono
FGHIJ. Si AG es igual a 1, AB es igual a phi y FG al inverso de Phi: 1/ Φ.
Phi a partir de un triángulo isósceles inscrito en un
círculo
En la siguiente tabla dividiendo el valor de
arriba por el de abajo el resultado es Phi:
|
FG
|
AB
|
FB
|
CB
|
FH
|
AF
|
Arco AB
|
|
FE
|
AK
|
FJ
|
CM
|
ON
|
AI
|
Arco AG
|
|
Φ
|
Φ
|
Φ
|
Φ
|
Φ
|
Φ
|
Φ
|
Se dibuja un triángulo isósceles ABC inscrito
en un círculo. Los centros de los lados del triángulo son DEF. Se traza una
línea que pasa por el centro de dos lados del triá ngulo llevándola hasta el
círculo en el punto G. Si la medida FE es uno, FG es phi.
En el siguiente dibujo, trazo una línea desde C
hasta G y otra de B hasta F y tienen la intersección en H.
La línea CG cruza AB en K. Desde K trazo otra
línea paralela a FB que cruza FG en L y llega hasta la línea AC en I.
Perpendicularmente a IK trazo una línea que
cruza FB en J y va hasta la línea CB en M.
Desde M trazo una línea paralela a IK que cruza
CG en N y llega hasta AC en el punto O.
Phi a partir de tres círculos y un triángulo rectángulo
Se dibuja 3 círculos de diámetro 1 que se
intersecan sobre la misma línea (CB). El primer círculo se interseca en un solo
punto con el segundo y este también se interseca en un punto con el tercero.
El punto de intersección del primer círculo
con la línea es C y con el tercer círculo es B. Se saca una línea perpendicular
al segmento BC desde el punto C hasta el punto A que es la intersección con el
primer círculo. Acabamos de dibujar un triángulo ABC.
AB se interseca con el segundo círculo en dos
puntos D y E. DE es el diámetro del segundo círculo por lo tanto mide 1. AC es
el diámetro del primer círculo consiguientemente mide 1. BC mide el diámetro
del segundo círculo más la mitad del primero y la mitad del tercero que es
igual a 1+ 0,5 + 0,5= 2. AB es la hipotenusa del triángulo rectángulo y según
Pitágoras en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es la suma de
los cuadrados de los catetos:
2² + 1² = 5 --> la hipotenusa es igual a
v5.
Recapitulemos:
AB= v5
BC= 2
CA= 1
DE= 1
Ahora vamos a ver donde se encuentra Phi:
AE = BD = (v5 – 1) / 2 + 1 = (v5 + 1) / 2 = 1,618034...
(Phi)
AD = BE = (v5 – 1) / 2 + 1 = 0,618034… ( 1/Phi)
La naturaleza nos sorprende de una forma que no puede ser
casual, tanto en el mundo vegetal como en el animal, como en multitud de
fenómenos físicos, con acontecimientos en los que este famoso número hace acto
de presencia.
Desde la antigüedad, muchos filósofos, artistas y matemáticos se han interesado
por la sección áurea. Los escritores del renacimiento llamaron proporción
divina.
Se le conoce también por número de oro, número Phi -en honor al
escultor griego Fidias (Phidias)-, sección áurea...
Phi: 1,6180339887. El número que fue definido por Euclides hace más de dos mil
años a raíz de su papel en la construcción del pentagrama. Un número mágico,
enigmático, importante para nosotros en muchos sentidos.
Podemos verlo en infinidad de manifestaciones artísticas: en Pintura,
Arquitectura y escultura a lo largo de la historia. Tenemos la proporción Áurea
de los templos Griegos, en la piramide de Keops o en la Mona Lisa de Leonado da
Vinci.
Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón
griego.
Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en
todo tipo de lugares, desde las tarjetas de crédito, en nuestro carnet de
identidad, cajetillas de tabaco, en las cadenas de ADN o en la simetría atómica.
En la música la podemos encontrar en las estructuras
formales de las sonatas deMozart, en la Quinta sinfonía de Beethoven o
en las obras de Schubert o Debussy, que muy probablemente la
aplicaron de forma inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras.
De hecho, cualquier melodía que no guarde esta proporción
en sus notas, nos sonaría asonante, extraña. Hay que mencionar que la Proporción
Áurea está estrechamente relacionada con la Sucesión de Fibonacci.
LA RELACIÓN MATEMÁTICA : “PHI – MEJOR”
1. PHI es la expresión matemática de “lo mejor de
lo mejor”.
2. PHI es igual a mejor y a lo mejor. 3.- Mejor y
lo mejor es igual a PHI.
3. Todo lo mejor es PHI. 5.- Todo lo mejor tiende
a armonizarse con la armonía universal de la constante matemática PHI y
con la constante PHI de la armonía universal.
4. Todo lo que es PHI es lo mejor.
5. Todo lo que es PHI tiende hacia lo mejor.
6. Es el número clave de la vida, de cómo
crecemos y de cómo crece la vida, hacia lo mejor.
V. LA CONSTANTE PHI, SUS DIFERENTES
NOMBRES Y FUNCIONES
La constante phi también es conocida con los siguientes
nombres :
1. PHI, constante PHI, relación PHI, proporción
PHI, razón PHI, número PHI, efecto PHI, factor PHI .
2. Relación áurea, relación de oro, proporción
áurea, proporción de oro.
3. Número áureo, número de oro, número de la vida, la
clave de la vida.
4. Relación entre la extrema y la media razón, la
división de un segmento en relación justa y extrema, sección áurea,
sección de oro, espiral áurea , espiral de oro.
5. La proporción divina, la proporción áurea, la
proporción sagrada, la proporción mágica.
6. La constante PHI es, en la geometría sagrada, el
fundamento de la flor de la vida, la semilla de la vida, el árbol de la
vida, el huevo de la vida , y es el fundamento de los cinco sólidos
perfectos.
VI. EL PODER PHI DE LOS PODERES PHI
Desarrollar el efecto PHI es desarrollar , expandir y
profundizar estados superiores de conciencia, con miras a desarrollar los
poderes propios de las técnicas PHI, que permiten realizar, manifestar y
expresar “ nuestro PHI interior”, tales como :
1. El poder de la alianza con las leyes naturales,
2. El poder de la interiorización,
3. El poder del autodominio,
4. El poder del silencio interior,
5. El poder de la relajación,
6. El poder de la meditación,
7. El poder de la oración,
8. El poder de la comunión con la divinidad,
9. El poder de la espiritualización de la vida,
10. El poder de la divinidad dentro de mí,
11. El poder de la autoaceptación,
12. El poder del amor,
13. El poder del perdón,
14. El poder de la sanación,
15. El poder de la visualización,
16. El poder de la paz interior,
17. El poder del equilibrio interior,
18. el poder de la imperturbabilidad interior,
19. el poder de la invulnerabilidad,
20. El poder de la inofendibilidad,
21. El poder de la inofensividad,
22. el poder de la magia espiritual interior,
23. El poder del milagro interior,
24. El poder del aumento de la energía vital,
25. El poder de la iluminación espiritual,
El poder de las cualidades científicas y benéficas del
campo unificado :
I) de las leyes naturales,
II) de fuerzas naturales,
III) de la energía universal,
IV) de la información universal,
V) de la armonía universal,
VI) del amor universal,
VII) de la salud universal,
VIII) y de la prosperidad universal.
Los antiguos griegos realizaban numerosas obras y edificios
siguiendo esta relación, y en el Renacimiento se le dióel calificativo de la
proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.
Pero esto no es un blog de arte ni de historia, así que ¿cuánto
vale el número áureo?
El número áureo se denota por la letra griega “Φ” FI (¿o
PHI?), y vale 
, y
como cualquier otro número matemático (Neperiano, Pi, …) surge de una expresión
matemática:
Habiendo contado ya una parte de la popularidad de este
número os voy a contar otras.
Este número aparece en la sucesión de Fibonacci.
Las cadenas de ADN tienen una relación matemática que es el
número PHI.
Muchas características humanas tienen relaciones
matemáticas que son el número PHI.
Las cajas de cigarrillos son rectángulos áureos.
Hay números que han intrigado a la humanidad desde hace
siglos. Valores como PI -la razón matemática entre la longitud de una
circunferencia y su diámetro- o e -la base de los logaritmos naturales-, suelen
aparecer como resultado de las más dispares ecuaciones o en las proporciones de
diferentes objetos naturales. El número áureo -a menudo llamado número dorado, razón
áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea o divina proporción- también
posee muchas propiedades interesantes y aparece, escondido y enigmático, en los
sitios más dispares.
El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo
fue Euclides, unos tres siglos antes de Cristo, en su obra Los
Elementos. Euclides definió su valor diciendo que "una línea recta está
dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento
mayor como el mayor es al menor." En otras palabras, dos números positivos
a y b están en razón áurea si y sólo si (a+b) / a = a / b.
La arquitectura no es ajena a este valor matemático. La
relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón de Atenas, por
ejemplo, también se relacionan mediante el número áureo. Muchos productos de
consumo masivo se diseñan siguiendo esta relación, ya que resultan más
agradables o cómodos. Las tarjetas de crédito o las cajas de cigarrillos
poseen dimensiones que mantienen esta proporción. El número áureo puede
encontrarse por todas partes, y a menudo ni siquiera somos conscientes de que
está allí. Pero en general, cuando algo nos resulta atractivo, esconde entre
sus partes esta relación. ¿No es asombroso?
Términos con las siguientes definiciones sobre esto:
Sucesión de Fibonacci. Partiendo desde el número uno,
la sucesión de Fibonacci consiste en ir sumando el resultado de la última
operación con su mayor sumando.
El segmento áureo. Es un segmento dividido en dos
partes de forma que se cumple la igualdad (a+b)/a = a/b, donde (a+b) es
el total del segmento, a la parte más grande y b la parte de
menor tamaño.
Número de oro. Conocido desde hace siglos, el número
de oro –también llamado número fi o número áureo.
